碎形藝術之旅(04)：混沌(Chaos)

民國82年，幾乎是同一時間，我又買了《混沌：不測風雲的背後》這本書(圖13，葛雷易克原著、林和翻譯，天下文化1993年出版)，會買這本書當然是書中有一大篇幅都在談碎形。歷經了24年的光陰，重讀《混沌》有不一樣的感受，當年會買跟碎形有關的書可以說單純只是被炫麗的碎形圖案所吸引，還談不上研究，如今因已從工作中退休，有多餘的閒暇可以跨門檻深入閱讀。

圖13

厚達400頁的這本科普叢書，為何取書名為《混沌》(Chaos)？而混沌又是什麼？作者葛雷易克在書中前言有詳細說明。在此我摘錄幾段文字做說明：

‧混沌現象俯拾皆是，裊繞上升的香菸煙束爆裂成狂亂的煙窩、風中來回擺動的旗幟、……。

‧長久以來物理學家都在探求自然的秩序，但面對無秩序的天氣、騷動的海洋、……，卻都顯得無知，這些大自然中的不規則部分，在科學上一直是個謎。

‧科學家應該去觀察一些簡單模式中所隱藏令人驚訝的複雜行為。

‧混沌創造了一種可以使用電腦來處理特殊圖形的技巧，在複雜表象下捕捉奇幻與細膩結構圖案。

‧新科學擁護者認為20世紀的傳世科學只有三件，分別是相對論、量子力學與混沌理論。

在全書圍繞著混沌的主題中，作者主要是在介紹兩位科學家並詳細闡述了他們在混沌理論的卓越成就，一位是發現「奇異吸子」的勞倫茲，另一位就是的發現「碎形」的曼德布洛特。

勞倫茲(Edward Lorenz)是一位氣象學家兼數學家，他在研究大氣的非週期性變化過程中，無意中發現了一個圖形，它刻畫出一張奇異而醒目的圖案，三維空間中的一種雙螺旋，像蝴蝶的一雙翅膀。勞倫茲把它稱為「奇異吸子」( Strange Attractor)，科學界為稱頌他的發現則直接稱它為「勞倫茲吸子」( Lorenz Attractor)。(圖14、15)。

圖14 三維空間座標顯示的「勞倫茲吸子」

圖15 科學家用彩色線條繪製的「勞倫茲吸子」圖形

碎形藝術之旅(03)：聖馬可龍(San Marco Dragon)

《柏拉圖的天空》書中有介紹到一張碎形圖(圖10)，曼德布洛特把它命名為「聖馬可龍(San Marco Dragon)」，他說：「這是數學家的狂想曲，用外推法將水都威尼斯教堂建築的空中輪廓，連同大水在廣場上的倒影一併繪入。」

 

圖10.

還真的有那麼一點神似，我上網去看了威尼斯聖馬可大教堂的外觀(圖11)，真的驚呼連連。那這張碎形圖到底是怎麼畫出來的？我還不清楚它的程式，猜測應是卡區曲線(Koch Curve)的延伸，卡區曲線是製作碎形圖的重要元素之一，容後介紹。

 

圖11.

不過，在“曼德布洛特集合”的圖中也隱藏有「聖馬可龍」，我在KPT碎形軟體中找到了這隻龍(圖12)。

圖12.

碎形藝術之旅(02)：碎形樹

《柏拉圖的天空》作者瑞吉斯在書中提到：「任何一幅碎形圖都是一則簡單的數值函數，經過多次迂迴演算，反反覆覆，一遍又一遍的視覺重現。」這種圖形有規律的漸次變大(或變小)現象，曼德布洛特稱之為「變動比例尺」，就像書中所舉例的碎形樹狀圖一樣(圖7)。

 

圖7.

這張圖我是利用MSW Logo繪圖軟體依書中舉例圖重新畫出來的，MSW Logo是一套可以製作碎形的簡易繪圖軟體，網路上可免費自由下載，也有很多網站介紹該軟體的用法與圖例，Youtube網路平台也有很多介紹碎形的短片。此「碎形樹」的構圖是經由一個簡單函數的9次迂迴演算得出的結果。這是一張左右對稱的碎形樹狀圖，當變換了其中的若干參數，我們可以得到更接近自然美的碎形樹(如圖8、9)，不是嗎？

圖8.

圖9.

碎形藝術之旅(01)：楔子

碎形藝術之旅(01)：楔子

碎形(Fractal)是一種出現在大自然的可見奇異景象。

碎形是一門數學。

碎形也是一種藝術。

最近一年來利用閒暇，把早年收集有關“碎形”的書籍與零碎資料重新整理、翻閱，現時網路發達，透過網路搜尋，也可找到相關文獻與軟體，沒事就在電腦上玩一玩，也算是生活上的一種調劑。有了一些心得，於是就作了以下的紀錄。

我個人開始接觸“碎形”這個東西，應該從我在民國82年買了一本科普叢書《柏拉圖的天空》(圖1)(瑞吉斯原著、邱顯正翻譯，天下文化1993年出版)說起。﹝很怪異的，我一直把這類型的書認為是「科普」叢書，如今把它翻出來，卻看到天下文化將它歸類為「社會人文」。﹞事實上，除了這本書之外，我也陸續買了好幾本科普叢書，都跟碎形有關係，容後續一一介紹。

圖1.《柏拉圖的天空》書籍封面

《柏拉圖的天空》這本書的第四章講的是“碎形之美”，也因為這個章節，我認識了所謂“曼德布洛特集合”(Mandelbrot set)。書中提到曼德布洛特獨自創造出數學的一個全新支派，稱為碎形論(fractals)，不只發明了該「集合」(set)，而且把這個集合用自己的名字命名，於是在碎形研究領域裡就有了“曼德布洛特集合”(Mandelbrot set)這樣的一個東西。

我進一步在網路上追蹤曼德布洛特是何方神聖，曼德布洛特(Benoit Mandelbrot) (圖2)是一位數學家，1924年出生於波蘭華沙，1945年考取巴黎綜合理工學院，1947就讀美國加州理工學院，取得航空學碩士學位。隨後又回到法國，於1952年在巴黎大學獲得數學科學博士學位。在職業生涯上，曼氏曾任職於美國耶魯大學、IBM(服務長達35年)以及西北太平洋國家實驗室等，2010年病逝美國，享年85歲，他一生最知名的成就就是創造了碎形理論(Fractals)。﹝註：Fractal這個名詞在台灣翻譯為「碎形」，在中國大陸翻譯為「分形」。﹞

圖2.曼德布洛特(Benoit Mandelbrot)

那“曼德布洛特集合”(Mandelbrot set)又是一個甚麼樣的東西？我們用一張維基百科所提供的圖(圖3)來做說明。﹝註：《柏拉圖的天空》書中有一張低解析度的黑白相同圖片。﹞曼德布洛特說：“這是一條海岸線，圖形看起來就像紐西蘭一樣，有長條形的海島，…，側面還有兩個斑點小島，像極了豐富島(Bounty Island)。…，海岸線的圖擺在眼前，碎形確實是自然界中的一分子。”

圖3.曼德布洛特集合(Mandelbrot set)

《柏拉圖的天空》作者瑞吉斯說：「碎形圖形之美，就美在彼此自我相似的特性。任何碎形的完整圖形，都可以具體而微出現在一個較小的部分。」為此，我以“曼德布洛特集合”那一張圖為例，從圖中擷取了兩處局部﹝註：我利用Photoshop加掛KPT碎形軟體製作﹞(圖4)，一張以低倍率放大(圖5)，一張以高倍率放大(圖6)，所呈現的結果竟然與原圖相似。(待續)

圖4.KPT碎形軟體中的曼德布洛特集合原圖

圖5.原圖中央處之局部放大

圖6.原圖左側小框之高倍率放大

希臘羅馬神話與相關西洋美術作品欣賞(32)：卡斯特爾與波爾克斯

天王宙斯誘騙斯巴達王妃麗妲生下了兩對孿生子女，其中的雙胞胎兄弟就是卡斯特爾(Castor)與波爾克斯(Pollux)，在親屬關係上，他倆兄弟是海倫(Helen)的哥哥。神話故事中海倫因引發特洛伊戰爭而聲名大噪，兩位哥哥名氣就沒那麼響亮，而且命運乖舛，英年早逝。

話說海倫原先已嫁斯巴達國王美勞尼斯為妻，後遭特洛伊王子帕里斯誘拐與其私奔，美勞尼斯大怒率兵征討特洛伊，海倫的兩位哥哥卡斯特爾與波爾克斯也在行伍之中，卻不幸雙雙遇難於海上，天王宙斯為感念這兩位攣生兄弟的英勇表現，特將其形象擺置於天空，並以「雙子星(Gemini)」命名，供世人仰望，同時也成為海上船隻的守護神。

希臘羅馬神話中對這兩位攣生兄弟的故事談論不多，相對的所能見到描述兩兄弟的西方美術作品也就比較少，以下就是相關作品介紹。

圖片說明：

圖1.典藏於西班牙普拉多美術館的卡斯特爾與波爾克斯兩兄弟大理石雕像(161公分高，創作年代：公元1世紀)。作品中可見兩兄弟靠在一起，其中一人雙手拿著火炬，一支朝上一支朝下，左腳旁有一小雕像，據信是一位女神，手握著一顆雞蛋。

圖2.卡斯特爾與波爾克斯兩兄弟騎馬征戰的英姿，英國畫家約翰·雷因哈德·韋格林（John Reinhard Weguelin，1849-1927年）1880年的插圖作品，韋格林以新古典主義風格創作古希臘、羅馬神話和日常生活主題非常受到矚目。

圖3.畫家筆下的《雙子星(Gemini)星座圖》。

希臘羅馬神話與相關西洋美術作品欣賞(31)：帕里斯與海倫

話說斯巴達王妃麗妲與宙斯一夜情後，生下了一對雙胞胎兄弟卡斯特爾與波爾克斯，以及雙胞胎姊妹海倫和克麗泰梅絲特拉【註：神話故事中有提到麗妲被宙斯誘姦當晚又與自己的夫婿國王汀達雷歐和好，才會同時在身體內產生兩個胚胎】。但此時宙斯卻揚長而去，置麗妲母子於不顧，麗妲只好將四名子女帶回宮中自行扶養。其中長大後的海倫成為希臘神話中的絕世美女，追求者無數，後來在國王的主持下嫁給了邁錫尼國王阿特琉斯的兒子美尼勞斯(Menelaus)，美尼勞斯隨後繼任為斯巴達的新任國王，海倫也順理成章當上了王后。

原本平靜安寧的斯巴達王國卻因一顆「金蘋果事件」而陷入長年的爭戰之中。原來在奧林帕斯山上有一場婚宴，海洋女神泰媞絲(Thetis)嫁給了人間英雄佩琉斯(Peleus)，他倆是由天王宙斯撮合的，宙斯找來眾神來幫他們祝賀，名單中獨漏「紛爭女神」艾瑞絲(Eris)。愛搗蛋的艾瑞絲不請自來，甚至為了表達心中的不滿，她刻意挑起紛爭，在喜宴桌上丟下了一顆刻有「致最美麗女神」文字的金蘋果，眾女神於是搶成一團，最後剩下天后希拉、愛神維納斯與工藝女神雅典娜三位女神互不相讓，她們請宙斯做主，看誰是奧林帕斯山上最美麗的女神？宙斯不願意當壞人，把這件燙手山芋丟給在伊達山(Mountain Ida)牧羊的特洛伊王子帕里斯(Paris)。三位女神為了得到這顆金蘋果，她們一起來到伊達山並在帕里斯面前大獻殷勤，希拉說：「我可以賜給你統治世界的權力」；雅典娜說：「我可以賜給你戰無不勝的武力」；維也納說：「我可以送給你全世界最美麗的女子」。最後，這位年輕的特洛伊王子把金蘋果判給了維納斯。

為了履行諾言，維納斯帶帕里斯到斯巴達引見王后海倫，果真帕里斯被海倫的的美貌深深迷惑，不顧海倫已貴為王后，帕里斯仍對她展開熱烈追求，沒想到海倫竟也不自覺愛上了帕里斯，兩人攜手逃往帕里斯的祖國特洛伊。國王美尼勞斯聞訊後大怒，便率兵討伐特洛伊。海倫的這場私奔終於引來長達十年的兩國交戰，最後特洛伊被木馬屠城而滅亡，這就是有名的特洛伊戰爭故事的由來。

圖片說明：

圖1.《金蘋果事件(Golden Apple of Discord)》，十七世紀法蘭德斯著名畫家雅各布‧喬丹斯(Jacob Jordaens，1593-1678)的油畫作品，1633，181 cm × 288 cm。圖畫中間上方一位長翅膀且面帶憤怒的女性就是「紛爭女神」艾瑞絲(Eris)，手持金蘋果的是宙斯，宙斯左側的是「智慧女神」雅典娜，右側是「使者之神」荷米斯，對面裸身女神是天后希拉，希拉身後站立者是「戰神」馬爾斯，左側戴有灣月頭飾者是「月神」黛安娜，圖畫最右邊兩人應是喜宴主角佩琉斯與泰媞絲。

圖2.《帕里斯的判決(The Judgment of Paris)》，十八世紀法國畫家布隆恩(Louis II de Boullogne)的油畫作品，71x137cm，迪戎美術館。圖畫顯示牧羊人帕里斯把金蘋果判給了黛安娜，右側是雅典娜，右上方是天后希拉，帕里斯背後是荷米斯。

圖3.絕色美女《特洛伊的海倫(Helen of Troy)》，英國女畫家艾芙琳‧摩根(Evelyn de Morgan)1898年的油畫作品，她的畫風深受前拉菲爾畫派的影響。畫中海倫攬鏡自照，鏡子背面有黛安娜的裸體雕飾。

圖4.《維納斯遊說海倫與帕里斯私奔(Venus convinces Helen to go with Paris)》，奧地利女畫家安潔莉嘉‧考夫曼(Angelica Kauffman, 1741~1807)1790年的作品，102 × 127.5 cm。

圖5. 《帕里斯與海倫(Paris and Helen)》，法國新古典主義畫派傑出畫家賈克-路易·大衛（Jacques-Louis David，1748~1825） 1788年的畫作，146 x 181 cm，目前典藏於羅浮宮。