2017年8月22日 星期二

碎形藝術之旅(04):混沌(Chaos)

民國82年,幾乎是同一時間,我又買了《混沌:不測風雲的背後》這本書(13,葛雷易克原著、林和翻譯,天下文化1993年出版),會買這本書當然是書中有一大篇幅都在談碎形。歷經了24年的光陰,重讀《混沌》有不一樣的感受,當年會買跟碎形有關的書可以說單純只是被炫麗的碎形圖案所吸引,還談不上研究,如今因已從工作中退休,有多餘的閒暇可以跨門檻深入閱讀。
圖13

厚達400頁的這本科普叢書,為何取書名為《混沌》(Chaos)?而混沌又是什麼?作者葛雷易克在書中前言有詳細說明。在此我摘錄幾段文字做說明:
‧混沌現象俯拾皆是,裊繞上升的香菸煙束爆裂成狂亂的煙窩、風中來回擺動的旗幟、……
‧長久以來物理學家都在探求自然的秩序,但面對無秩序的天氣、騷動的海洋、……,卻都顯得無知,這些大自然中的不規則部分,在科學上一直是個謎。
‧科學家應該去觀察一些簡單模式中所隱藏令人驚訝的複雜行為。
‧混沌創造了一種可以使用電腦來處理特殊圖形的技巧,在複雜表象下捕捉奇幻與細膩結構圖案。
‧新科學擁護者認為20世紀的傳世科學只有三件,分別是相對論、量子力學與混沌理論。

在全書圍繞著混沌的主題中,作者主要是在介紹兩位科學家並詳細闡述了他們在混沌理論的卓越成就,一位是發現「奇異吸子」的勞倫茲,另一位就是的發現「碎形」的曼德布洛特。

勞倫茲(Edward Lorenz)是一位氣象學家兼數學家,他在研究大氣的非週期性變化過程中,無意中發現了一個圖形,它刻畫出一張奇異而醒目的圖案,三維空間中的一種雙螺旋,像蝴蝶的一雙翅膀。勞倫茲把它稱為「奇異吸子」( Strange Attractor),科學界為稱頌他的發現則直接稱它為「勞倫茲吸子」( Lorenz Attractor)(1415)
圖14 三維空間座標顯示的「勞倫茲吸子」

圖15 科學家用彩色線條繪製的「勞倫茲吸子」圖形

2017年7月24日 星期一

碎形藝術之旅(03):聖馬可龍(San Marco Dragon)

《柏拉圖的天空》書中有介紹到一張碎形圖(10),曼德布洛特把它命名為「聖馬可龍(San Marco Dragon)」,他說:「這是數學家的狂想曲,用外推法將水都威尼斯教堂建築的空中輪廓,連同大水在廣場上的倒影一併繪入。」
 
圖10.
還真的有那麼一點神似,我上網去看了威尼斯聖馬可大教堂的外觀(11),真的驚呼連連。那這張碎形圖到底是怎麼畫出來的?我還不清楚它的程式,猜測應是卡區曲線(Koch Curve)的延伸,卡區曲線是製作碎形圖的重要元素之一,容後介紹。
 
圖11.

不過,在“曼德布洛特集合”的圖中也隱藏有「聖馬可龍」,我在KPT碎形軟體中找到了這隻龍(12)
圖12.

2017年7月15日 星期六

碎形藝術之旅(02):碎形樹

《柏拉圖的天空》作者瑞吉斯在書中提到:「任何一幅碎形圖都是一則簡單的數值函數,經過多次迂迴演算,反反覆覆,一遍又一遍的視覺重現。」這種圖形有規律的漸次變大(或變小)現象,曼德布洛特稱之為「變動比例尺」,就像書中所舉例的碎形樹狀圖一樣(7)
 
圖7.

這張圖我是利用MSW Logo繪圖軟體依書中舉例圖重新畫出來的,MSW Logo是一套可以製作碎形的簡易繪圖軟體,網路上可免費自由下載,也有很多網站介紹該軟體的用法與圖例,Youtube網路平台也有很多介紹碎形的短片。此「碎形樹」的構圖是經由一個簡單函數的9次迂迴演算得出的結果。這是一張左右對稱的碎形樹狀圖,當變換了其中的若干參數,我們可以得到更接近自然美的碎形樹(如圖89),不是嗎?
圖8.

圖9.

2017年7月3日 星期一

碎形藝術之旅(01):楔子

碎形藝術之旅(01):楔子

碎形(Fractal)是一種出現在大自然的可見奇異景象。
碎形是一門數學。
碎形也是一種藝術。

最近一年來利用閒暇,把早年收集有關“碎形”的書籍與零碎資料重新整理、翻閱,現時網路發達,透過網路搜尋,也可找到相關文獻與軟體,沒事就在電腦上玩一玩,也算是生活上的一種調劑。有了一些心得,於是就作了以下的紀錄。

我個人開始接觸“碎形”這個東西,應該從我在民國82年買了一本科普叢書《柏拉圖的天空》(1)(瑞吉斯原著、邱顯正翻譯,天下文化1993年出版)說起。﹝很怪異的,我一直把這類型的書認為是「科普」叢書,如今把它翻出來,卻看到天下文化將它歸類為「社會人文」。﹞事實上,除了這本書之外,我也陸續買了好幾本科普叢書,都跟碎形有關係,容後續一一介紹。
圖1.《柏拉圖的天空》書籍封面

《柏拉圖的天空》這本書的第四章講的是“碎形之美”,也因為這個章節,我認識了所謂“曼德布洛特集合”(Mandelbrot set)。書中提到曼德布洛特獨自創造出數學的一個全新支派,稱為碎形論(fractals),不只發明了該「集合」(set),而且把這個集合用自己的名字命名,於是在碎形研究領域裡就有了“曼德布洛特集合”(Mandelbrot set)這樣的一個東西。

我進一步在網路上追蹤曼德布洛特是何方神聖,曼德布洛特(Benoit Mandelbrot) (2)是一位數學家,1924年出生於波蘭華沙,1945年考取巴黎綜合理工學院1947就讀美國加州理工學院,取得航空學碩士學位。隨後又回到法國,於1952年在巴黎大學獲得數學科學博士學位。在職業生涯上,曼氏曾任職於美國耶魯大學、IBM(服務長達35)以及西北太平洋國家實驗室等,2010年病逝美國,享年85歲,他一生最知名的成就就是創造了碎形理論(Fractals)。﹝註:Fractal這個名詞在台灣翻譯為「碎形」,在中國大陸翻譯為「分形」。﹞

圖2.曼德布洛特(Benoit Mandelbrot)
那“曼德布洛特集合”(Mandelbrot set)又是一個甚麼樣的東西?我們用一張維基百科所提供的圖(3)來做說明。﹝註:《柏拉圖的天空》書中有一張低解析度的黑白相同圖片。﹞曼德布洛特說:“這是一條海岸線,圖形看起來就像紐西蘭一樣,有長條形的海島,,側面還有兩個斑點小島,像極了豐富島(Bounty Island),海岸線的圖擺在眼前,碎形確實是自然界中的一分子。”
圖3.曼德布洛特集合(Mandelbrot set)
《柏拉圖的天空》作者瑞吉斯說:「碎形圖形之美,就美在彼此自我相似的特性。任何碎形的完整圖形,都可以具體而微出現在一個較小的部分。」為此,我以“曼德布洛特集合”那一張圖為例,從圖中擷取了兩處局部﹝註:我利用Photoshop加掛KPT碎形軟體製作﹞(4),一張以低倍率放大(5),一張以高倍率放大(6),所呈現的結果竟然與原圖相似。(待續)
4.KPT碎形軟體中的曼德布洛特集合原圖
圖5.原圖中央處之局部放大
圖6.原圖左側小框之高倍率放大